"Induktive Logik" scheint eine contradictio in adjecto zu sein: Bei "der Logik", so meint man, geht es doch per definitionem um Deduktion, und da "Induktion" der Gegenbegriff zu "Deduktion" ist, kann es gar keine Induktive Logik geben. Diesem Eindruck liegt jedoch ein zu enges Verständnis von "Logik" zugrunde.

Deduktion im Gegensatz zu Induktion

Oft hört man als Unterscheidungskriterium von Deduktion und Induktion, dass es bei der Deduktion um den Schluss vom Allgemeinen auf das Besondere, während es bei der Induktion um den Schluss vom Besonderen auf das Allgemeine gehe. Das ist mitnichten der Fall. Es gibt deduktive Argumente, die vom Besonderen zum Allgemeinen übergehen:

    1. Lothar Matthäus spielt bei Bayern München.
    2. Lothar Matthäus ist der Jahrhundertfußballer.
    Also: Jeder, der alle Bayern München-Spieler kennt, kennt den Jahrhundertfußballer.

Ebenso wie deduktive Argumente, die vom Besonderen zum Besonderen gehen - etc. Auf der anderen Seite gibt es induktive Argumente, die vom Allgemeinen zum Besonderen gehen oder vom Besonderen zum Besonderen, z.B.:

    1. Alle Smaragde, die bis jetzt gefunden wurden, waren grün.
    Also: Der nächste gefunde Smaragd wird auch grün sein.

Der Unterschied zwischen Induktion und Deduktion betrifft also nicht den Allgemeinheitscharakter der beteiligten Aussagen (ihre Quantifikationsstruktur), sondern die Art und Weise, wie die Prämissen die Konklusion stützen.

Einige induktive Argumente kann man deduktiv zwingend machen. Beispielsweise:

      1. Die bis jetzt bei Raumtemperatur untersuchten Bromproben waren flüssig.
     Also: Brom ist bei Raumtemperatur flüssig.

Dies ist zunächst nichts als eine induktive Verallgemeinerung und als solche nicht zwingend. (Von Randbedingungen der Messung wie Druckverhältnisse etc. soll hier abgesehen werden.) Doch angenommen wir ergänzen eine Prämisse.

     1. Die bis jetzt bei Raumtemperatur untersuchten Bromproben waren flüssig.
     2. Die Natur ist (überall) gleichförmig (allgemeine Uniformitätsannahme).
     Also: Brom ist bei Raumtemperatur flüssig.

Jetzt folgt die Konklusion zwingend, denn die allgemeine Uniformitätsannahme schreibt fest, dass sich weitere Proben von Brom nicht anders verhalten werden als die untersuchten Proben. Es wird mit ihr angenommen, dass Naturgesetze überall im Universum gleich gelten und ohne Ausnahme. Formuliert man die Annahme völlig aus, läßt sich die deduktive Struktur des Arguments (Verwendung eines Identitätsprinzips) erkennen:

    1. Die bis jetzt bei Raumtemperatur untersuchten Bromproben waren flüssig.
    2. Die Eigenschaften, die weiteren Bromvorkommen bei Raumtemperatur
        zukommen, entsprechen denjenigen, die den untersuchten Bromproben zukommen.
   Also: Brom ist bei Raumtemperatur flüssig.

Die allgemeine Uniformitätsannahme ist umstritten. Carnap wollte seine Theorie der Dispositionsprädikate ausdrücklich so formulieren, dass sie unabhängig von dieser Annahme ist. Reschers Theorie der Induktion sagt hingegen, dass induktive Argumente solche sind, bei denen wir bezüglich eines ausgewählten Untersuchungsgegenstandes Uniformitätsannahmen investieren. Induktive Schlüsse kommen uns deshalb oft stark vor, weil wir implizit eine entsprechende unterdrückte Prämisse unterstellen - wir behandeln die induktiven Argumente wie Enthymeme (d.h. deduktive Argumente, denen eine Prämisse fehlt).
Die Uniformitätsannahme wird dazu verwendet, die Konklusion der Argumente wahr zu machen. Schwächt man die Konklusion zu einer Wahrscheinlichkeitsaussage ab, läßt sich ebenfalls ein Argument verstärken:

    1. 80% der Seminarteilnehmer sind männlich.
    2. Person A nimmt am Seminar teil.
    Also: Person A ist männlich.

Dies ist ein induktiv überzeugendes Argument aber nicht deduktiv gültig. Deduktiv gültig ist demgegenüber:

    1. 80% der Seminarteilnehmer sind männlich.
    2. Person A nimmt am Seminar teil.
    Also: Mit 80% Wahrscheinlichkeit ist Person A männlich.

Gültige Argumente und starke Argumente

Der Zentralbegriff der Logik ist der Begriff der Folgerung bzw. der Begriff des Schlusses. Schlüsse sollen korrekt oder gültig sein. Eine gültige Folgerung in der deduktiven Logik ist ein Übergang von einer Menge von Prämissen zu einer Konklusion derart, dass sich die Wahrheit der Prämissen auf die Konklusion vererbt. In einem korrekten deduktiven Schluss kann bei Wahrheit der Prämissen die Konklusion nicht falsch sein. Schlüsse dienen der Vererbung von Wahrheit: Die mit den Prämissen investierte Wahrheit - wenn denn die Prämissen wahr sind - geht beim deduktiven Übergang zu einer Konklusion nicht verloren.

Aber auch Argumente, bei denen die Wahrheit der Prämissen nicht die Wahrheit der Konklusion garantiert, kommen uns als gute Argumente vor. Zum Beispiel:

          1. 85% der PKWs auf deutschen Straßen wurden nach 1985 gebaut.
          2. Gerhard Schröder kommt mit seinem Auto nach Düsseldorf.
          3. Gerhard Schröders Auto wurde nach 1985 gebaut.

Aussage (3) kann falsch sein, obwohl die Aussagen (1) und (2) wahr sind. Doch ist es wahrscheinlich, dass (3) wahr ist, gegeben den Fall, dass (1) und (2) wahr sind.
Hier kommt der Begriff der Wahrscheinlichkeit ins Spiel. Die Prämissen erzwingen nicht die Konklusion im deduktiven Sinne, doch sie erhöhen die Wahrscheinlichkeit, dass die Konklusion wahr ist.
Induktiv starke Argumente sind solche, bei denen die Prämissen die Konklusion erheblich stützen (was das genauer heißt wird noch zu klären sein!). Ein von uns gemachtes Argument, welches immer ein Vorkommnis eines Argumenttyps/einer Argumentform ist, wird von der  Induktiven Logik ausgezeichnet, wenn seine Argumentform eine induktiv starke Argumentform ist.
Die Induktive Logik befasst sich zentral mit dieser Relation der induktiven Stützung bzw. der induktiven Wahrscheinlichkeit.
Übergreifend kann bezüglich der logischen Betrachtung von Argumenten gesagt werden:

Die Logik untersucht die Stärke der Stützungsrelation zwischen den Prämissen und der Konklusion eines Argumentes.

Dieses angemessenere Logikverständnis ist weit genug, um die Induktive Logik nicht auszuschließen. Im Fall der Deduktion garantiert bei Vorliegen eines korrekten Schlusses die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion. Im Fall der Induktion garantiert die Wahrheit der Prämissen zwar nicht die Wahrheit der Konklusion, die Prämissen stützen jedoch die Konklusion mehr oder weniger stark, sie können sie stark stützen.

Definition der induktiven Wahrscheinlichkeit

Induktive Argumente wagen sich - anders als deduktive Argumente - mit der Behauptung, dass die Konklusion wahr ist, über das hinaus, was in den Prämissen steckt. Der Übergang von wahren Prämissen zu einer falschen Konklusion wird bei induktiven Argumenten riskiert. Induktiv starke Argumente tun dies mit großer Berechtigung.
Es sei definiert:


Ein Argument ist genau dann induktiv stark, wenn gilt:

(i) Es ist unwahrscheinlich, dass seine Konklusion falsch ist, gegeben den Fall, dass seine Prämissen wahr sind
   
(ii) Es ist nicht deduktiv gültig.

Entscheidend an dieser Definition ist das Verständnis der Bedingung (i). Gemeint ist keine Betrachtung der bloßen Konjunktion von Prämissen und Konklusion, sondern die Abhängigkeit der Konklusion von den Prämissen gegeben den Fall, dass die Prämissen wahr sind. Eine bloße Konjunktion kann nicht gemeint sein, da ansonsten die beiden Fälle induktiv starke Argumente wären:

a) wo die Prämissen schon unwahrscheinlich sind, z.B.

                        1. Draußen fliegt eine Kuh.
                        Also: Die Kuh kann unter Wasser atmen.

In diesem Argument würde die Unwahrscheinlichkeit der Prämisse allein dafür sorgen,  dass es unwahrscheinlich ist, dass die Prämisse wahr und die Konklusion falsch ist. Das Argument ist jedoch nicht induktiv stark, da selbst fliegende Kühe deshalb noch keine Fische sind.
   
b) wo die Wahrscheinlichkeit der Konklusion schon gegeben ist, z.B.

                     1. Draußen fliegt eine Kuh.
                     Also: Keine Kuh kann fliegen.

In diesem Argument würde die Wahrscheinlichkeit der Konklusion alleine dafür sorgen, dass es unwahrscheinlich ist, dass die Konklusion falsch und die Prämisse wahr ist. Das Argument ist jedoch nicht induktiv stark, da eine fliegende Kuh direkt die andere Aussage widerlegen würde!
Bei der Betrachtung der induktiven Stärke geht es also um eine Beziehung zwischen den Wahrscheinlichkeiten bzw. Wahrheitswerten der Aussagen, die über ein wahrheitsfunktionales "und" hinausgeht. Insbesondere muss es sich bei der induktiven Wahrscheinlichkeit bzw. induktiven Stützung um eine stärkere Bindung handeln als um die der materialen Implikation, da für diese ja das verum ex qoudlibet sequitur und das ex falsum qoudlibet (also die Entsprechungen zu den problematischen Fällen (a) und (b)) gelten!
Induktive Wahrscheinlichkeit bzw. induktive Stützung betrifft die Beziehung von Prämissen zu Konklusionen. Sie kommt nicht einzelnen Aussagen allein zu. Wir mögen eine einzelne Aussage für soundso wahrscheinlich halten. Dies ist die epistemische Wahrscheinlichkeit, die eine Person einer Aussage zumisst. Die epistemische Wahrscheinlichkeit einer Aussage A kann von zwei Personen P1 und P2  ganz unterschiedlich beurteilt werden. Auch eine einzelne Person kann ihre Zuweisung epistemischer Wahrscheinlichkeit relativ zu neuen Informationen revidieren. Die induktive Wahrscheinlichkeit als Stützung der Wahrheit einer Aussage durch andere Aussagen (Prämissen) ist indessen von Personen unabhängig. Ein bestimmtes Argument hat eine bestimmte Stärke. Das Hinzufügen weiterer Prämissen (Informationen) mag unser Vertrauen in die Konklusion untergraben, aber nun betrachten wir ein neues Argument. Induktive Argumente und damit induktive Wahrscheinlichkeiten veranlassen uns, wenn wir rational sind, Aussagen entsprechend revidierte epistemische Wahrscheinlichkeiten zuzuschreiben - das ist ja der Sinn von Argumenten, dass sie die Glaubwürdigkeit einer Aussage dadurch erhöhen, das sie auftritt als Konklusion eines gültigen oder starken Arguments mit Prämissen, denen der Hörer schon mehr vertraut.
Jene Argumente, auf deren Grundlage epistemische Wahrscheinlichkeiten zugemessen werden, sollen "e-Argumente" (bzw. "e-Argumentformen") heißen. Beispiele sind die bis jetzt gebrachten Argumente wie das zu Gerhard Schröders Auto: Nachdem wir das e-Argument gehört haben, dass über das Faktum, wie weitverbreitet neuere Wagen sind, die Vermutung stützt, auch Gerhard S. habe einen solchen, sollten wir dieser Vermutung, wenn wir sie denn vorher für unwahrscheinlich gehalten haben, eine höhere epistemische Wahrscheinlichkeit zuweisen.
Die beiden Begriffe epistemischer versus induktiver Wahrscheinlichkeit sind jedoch zu unterscheiden!
Bei der epistemischen Wahrscheinlichkeit ist es bezüglich einer Person wünschenswert, dass sie eine Aussage relativ zu ihrem Gesamtwissen beurteilt. Ansonsten ließen sich aus ihrem gegebenen Wissensstand (d.h. ohne weitere neue Informationen) verschiedene induktive Argumente (mit verschiedenen Prämissen) konstruieren, die einer Aussage zum gegebenen Zeitpunkt unterschiedliche Glaubwürdigkeit vermitteln. Dadurch wird ihr Meinungssystem (probabilistisch) inkonsistent. Um das zu vermeiden, erhebt man die Forderung des "Gesamtdatums", relativ zu dem einer Aussage ein Glaubwürdigkeitsgrad zugewiesen wird.

Läßt sich induktives Vorgehen rechtfertigen?

Im Gegensatz zur Deduktion stand die Induktion in der Philosophiegeschichte, insbesondere durch Humes Induktionsskepsis, unter Rechtfertigungsdruck. Bei der Rechtfertigung lassen sich zwei Aspekte unterscheiden: Einmal die Rechtfertigung der Induktion im allgemeinen; zum anderen die Rechtfertigung eines bestimmten Systems der Induktiven Logik.
Deduktion alleine bringt uns nicht über den Informationsstand, den wir schon besitzen, hinaus. Wir erkennen vielmehr Implikationen dieses Informationsstandes, die uns vorher nicht klar waren. Ein deduktives Argument bringt uns dazu, etwas für wahr zu halten (bzw. für wahr halten zu müssen), weil wir seine Prämissen für wahr halten. Induktive Argumente erweitern unser Meinungssystem, da sich die Konklusion auf mehr festlegt (z.B. eine Verallgemeinerung) als in den Prämissen vorgegeben wurde. Wir brauchen diese Verallgemeinerung, um z.B. den Sprung von der Vergangenheit in die Zukunft zu machen - etwa wenn wir sagen "Auch morgen wird es so sein, dass...".
Trotz ihrer Unerläßlichkeit ist die Induktion Gegenstand der Hume´schen Skepsis.
Humes Argumente wollen zeigen, dass sich unser induktives Räsonieren nicht rational rechtfertigen läßt, sondern ausschließlich auf Gewohnheit beruht.

Humes Forderung nach Rechtfertigung der Induktion tritt als Dilemma auf (und wird deshalb auch "Hume´s fork" genannt):

   1. Induktion ist zu rechtfertigen   (Gegenstand des philosophischen Disputs)
   2. Jede Rechfertigung ist entweder deduktiv oder induktiv.
   3. Eine deduktive Rechtfertigung der Induktion ist nicht möglich.
   4. Eine induktive Rechtfertigung der Induktion ist nicht möglich.
  Also: Die Induktion ist zu rechtfertigen, läßt sich indessen nicht rechtfertigen.

Per Allgemeinem Dilemma ist dieser Schluss deduktiv gültig. Soll die Konklusion falsch sein, muss also mindestens eine der Prämissen verworfen werden. Prämisse (3) gilt, nach Hume, da uns deduktive Argumente niemals von der Vergangenheit in die Zukunft tragen, dies aber zur Rechtfertigung des Vertrauens in die Induktion nötig wäre. Prämisse (4) gilt, nach Hume, da man sich mit einer induktiven Rechtfertigung der Induktion in einen Zirkel verwickelt. Damit scheint Humes Argument zwingend zu sein.
Würden wir versuchen, die Induktion dadurch zu rechtfertigen, dass wir das Uniformitätsprinzip der Natur rechtfertigen, hätten wir unser Begründungsproblem nur verschoben und müßten außerdem noch klarmachen, in welcher Hinsicht die Natur denn gleichförmig sein soll. (Kant nimmt diese Herausforderung an, indem er für den a priorischen Charakter des Kausalitätsprinzips argumentiert; die Wenigsten würden aber den Kantischen Rahmen seiner Rechtfertigung übernehmen.)
Lassen wir eine - kantische oder anders geartete - Rechtfertigung des Uniformitätsprinzips zunächst einmal beiseite, dann kann man die Rechtfertigungen der Induktion dadurch klassifizieren, an welcher Stelle sie Hume´s fork entgehen wollen.

Rechtfertigungsansatz (a)
Angriff von Prämisse (4): Eine nichtzirkuläre induktive Rechtfertigung der Induktion ist möglich. Dieser Ansatz unterscheidet verschiedene Ebenen des Argumentierens: Argumente 1.ter Stufe handeln von Fakten, Argumente 2.ter Stufe von Argumenten 1.ter Stufe - usw. Die zweite Ebene der wissenschaftlichen Induktion besteht aus Regeln für Argumente der 2.ten Stufe, setzt damit keine Regeln der 1.Stufe (zirkulär) voraus, und man kann nun wiefolgt induktiv (2.ter Stufe) für die Induktion (1.ter Stufe) argumentieren:

   1. Alle bisher untersuchten induktiv starken Argumente auf Ebene 1 hatten bei wahren Prämissen eine wahre Konklusion.
Also: Das nächste untersuchte induktiv starke Argument der Ebene 1 wird bei wahren Prämissen auch eine wahre Konklusion haben.

Angesetzt wird hier eine Hierarchie-Konzeption von Begründung als Alternative zum Zirkel (vergleichbar dem Fall der semantischen Hierarchien). Stufe 2 rechtfertigt Stufe 1, ohne selbst Stufe 1 vorauszusetzen; Stufe 2 wird selbst auf Stufe 3 gerechtfertigt, ohne Stufe 2 vorauszusetzen - usw. Diese Rechtfertigung ist nicht leer, da sich ja bei einer Betrachtung von einer höheren Stufe aus herausgestellt haben könnte, dass die Induktion 1.ter Stufe nicht verläßlich ist. Aber: Das Hierarchieverfahren allein legt kein bestimmtes System der Induktiven Logik fest, das sich so rechtfertigen läßt. Angenommen die Anti-Induktion (die These, dass es sich beim nächstenmal anders verhalten wird als bisher). Die Anti-Induktion 2.ter Stufe kann als Rechtfertigung der Anti-Induktion 1.ter Stufe dienen, da im Sinne der Anti-Induktion der Misserfolg der Anti-Induktion 1.Stufe gerade ein Grund dafür ist, zu behaupten, sie werde nächstesmal erfolgreich sein (die Anti-Induktion sagt ja, dass es beim nächsten mal anders sein wird als bisher). (s.u.)

Frage 1: Angenommen, wir haben 100mal argumentiert, dass der nächste Schwan weiß sein wird, weil die bis jetzt untersuchten es waren. Nun argumentieren wir noch 99mal so, ändert sich die Stärke des Arguments nach (a)?

Frage 2: Angenommen beim 200. Durchgang treffen wir auf einen schwarzen Schwan. Ändert das die Beurteilung der Argumentform gemäß Ansatz (a)?

Rechtfertigungsansatz (b) Angriff auf die Prämisse (3): Eine deduktive Rechtfertigung der Induktion ist möglich! Reichenbach argumentiert so, dass falls überhaupt irgendeine Induktion erfolgreich ist, es auch die wissenschaftliche Induktion (im Gegensatz z.B. zur Anti-Induktion) ist. Damit liefert er zwar keinen absoluten Beweis der Induktion, aber es ist dennoch rational die Methode zu wählen, die eine Rechtfertigung besitzt, wenn überhaupt eine Methode gerechtfertigt werden kann. Bezogen auf das rationale Vorgehen, die beste Alternative zu wählen, wäre demnach die Induktion gerechtfertigt. Reichenbach argumentiert wie folgt:

    1. Entweder ist die Natur gleichförmig oder nicht.
    2. Wenn die Natur gleichförmig ist, ist die wissenschaftliche Induktion erfolgreich.
    3. Wenn die Natur nicht gleichförmig ist, wird keine Form von Induktion erfolgreich sein.
  Also: Wenn irgendeine Form von Induktion erfolgreich ist, so ist es die wissenschaftliche Induktion.

Der springende Punkt dieses Arguments ist die Prämisse (3). Reichenbach muss behaupten, dass es für den Fall, dass es in einem nicht gleichförmigen Universum dennoch eine erfolgreiche andere Form der Induktion gibt, die wissenschaftliche Induktion diesen Umstand entdecken würde. Damit bezieht er sich allerdings wieder auf die Konzeption der Ebenen der Induktionsrechtfertigung, denen wir bei Ansatz (a) begegnet sind. Reichenbachs ergänzende Behauptung besagt nämlich nur: Die wissenschaftliche Induktion wird auf der Ebene k+1 erfolgreich sein, wenn irgendeine Induktion auf der Ebene k Erfolg hat. Gezeigt werden müsste für (3) indessen, dass die wissenschaftliche Induktion auch schon auf der Ebene k gleich erfolgsträchtig ist. Reichenbachs Argument scheint also zu scheitern!
Fragen kann man sich allerdings jetzt: Angenommen die wissenschaftliche Induktion ist auf der Ebene  k+1 erfolgreich, kann man die dort verwandten Methoden wirklich von denen der Ebene k unterscheiden? Ist also die Hierarchie-Konzeption sinnvoll?
Außerdem bleibt festzuhalten, dass der von Reichenbach aufgewiesene relative Erfolg der wissenschaftlichen Induktion auf Ebene k+1 nicht für die anti-wissenschaftliche Induktion wiederholt werden kann. Diese kann nicht auf einer Ebene k+1 den Erfolg einer anderen Form der Induktion (in einem chaotischen Universum) rechtfertigen. Insofern ist die wissenschaftliche Induktion relativ ausgezeichnet und das könnte zu ihrer rationalen Präferierbarkeit gegenüber der anti-wissenschaftlichen Induktion hinreichen.
Außerdem könnte es andere Weisen der deduktiven Rechfertigung des Verwendens induktiver Verallgemeinerungen in den Wissenschaften geben (etwa wenn es über Kriterien der Theoriewahl wie Einfachheit oder Erklärungsstärke einen Algorithmus zur Ermittlung der zu präferierenden Theorie gibt - darauf wird später noch eingegangen werden).

Rechtfertigungsansatz (c) Angriff auf Prämisse (1): Wieso eigentlich muss man die Induktion rechtfertigen? Und wenn sie denn zu rechtfertigen wäre, welchen Standard darf man an diese Rechtfertigung anlegen?
Einwand 1: Wer eine Rechtfertigung für die Induktion verlangt, sollte nicht unter der Hand die Induktion in Deduktion verwandeln oder an den Maßstäben der Deduktion messen wollen.
Replik: Es wird von der Rechtfertigung der Induktion auch nicht verlangt, dass sie gültig (d.h. korrekt im Sinne der Deduktion) sein muss. Und von der Induktion wird nicht verlangt, dass sie eben wie die Deduktion niemals von wahren Prämissen zu einer falschen Konklusion führt, sondern lediglich, dass gewährleistet wird, dass sie meistens von wahren Prämissen zu einer wahren Konklusion führt.
Einwand 2: Wer eine Rechtfertigung der Induktion verlangt im Sinne Humes, der hat einfach nicht verstanden, was wir unter "induktivem Vorgehen" verstehen. Die wissenschaftliche Induktion zu verwenden ist Teil davon, was wir mit "rational" meinen. Eine Rechtfertigung, warum Induktion rational ist, erübrigt sich dadurch.
Replik: Woher wollen wir wissen, dass unser Wortgebrauch nicht borniert ist?
Einwand 3: Induktion kann deshalb nicht zirkelfrei begründet werden, weil die Induktive Logik immer schon Teil dessen ist, was unsere Methoden der Rechtfertigung ausmacht. Jede Rechtfertigung muss einen Apparat an Methoden mitbringen, und ein Teil unserer Rechtfertigungsmethoden ist die Induktive Logik, denn mit deduktiven Mitteln allein wären wir nie in der Lage Prognosen oder Erklärungen zu liefern, die jedoch beide wesentlich zu den Dingen gehören, die wir rechtfertigen und rechtfertigen wollen. Man kann also nicht von einem externen Standard der Rechtfertigung aus nach der Rechfertigung der Induktion fragen. Genauso wenig wie man fragen kann "Warum sollen wir rational sein?" (wird dies als Frage nach einer internen - d.h. nicht evolutionstheoretischen - Begründung verstanden), ohne dass die Frage immer schon beantwortet ist und auch der Frager schon von unseren Methoden (des rationalen Fragens und Begründens) zehrt.
(Einwand 3 ist eine Verbesserung von Einwand 2, der von der Ebene der Ausdrucksdefinition auf die Sachebene wechselt. Die schwierige Frage, ob andere Sprachgemeinschaften einen Ausdruck wie "Q-Induktion" an methodisch ähnlich zentraler Stelle wie wir "Induktion" verwenden könnten und damit Anti-Induktion meinen, läßt sich dadurch hier umgehen.)

Weitere Rechtfertigungsoptionen: Nicht angegriffen haben wir hier die Prämisse (2). Wieso aber könnte es nicht Weisen der Rechtfertigung jenseits sowohl der Deduktion als auch der Induktion geben? Transzendentale Argumente beispielsweise räumen eine Zirkularität ein, rechtfertigen diese aber über die Notwendigkeit, dass Grundmomente der Rechtfertigung (wozu die Induktion gehören würde) zwar erläutert werden können, ihre Rechtfertigung jedoch zwangsläufig einen transzendentalen Zirkel mit sich bringt. (Hier soll auf solche weiteren Rechtfertigungsmethoden, zu denen des weiteren auch eine Phänomenologie der Evidenz dieser Methoden zählen könnte, nicht eingegangen werden, da Humes Argument m.E. durch die Rechtfertigungsansätze (b) und (c) schon angeschlagen ist.)

Die Grundprobleme der Induktiven Logik

Ein Grundproblem der Induktiven Logik neben ihrer grundsätzlichen Rechtfertigung ist die Formulierung eines Systems der Induktiven Logik bzw. eines Arsenals an Methoden der Induktiven Logik. Betrachten wir zunächst aus Vereinfachungsgründen ein Kalkül zum induktiven Räsonieren und zur Beurteilung des Bestätigungsstatus von Hypothesen. Ein solcher Kalkül soll nicht nur die metalogischen Adäquatheitsforderungen an Kalküle erfüllen (wie die Konsistenz der gelieferten Schlussverfahren), sondern soll vor allem unseren intuitiven Urteilen bezüglich dessen, was wir für induktiv starke Argumente halten, genügen. Argumente, die wir für induktiv stark halten, sollen in diesem Kalkül eine hohe induktive Wahrscheinlichkeit der Konklusion bereitstellen. Und Argumente, die wir intuitiv für induktiv schwach halten, sollen auch als "schwach" ausgwiesen werden können. Dadurch soll sich ein Kalkül der induktiven Logik, der mit dem Anspruch auftreten kann, unsere intuitiven Urteile und die Praxis des induktiven Schließens in den Wissenschaften zu rekonstruieren vor anderen auch formulierbaren induktiven Logiken auszeichnen. Durch dieses System werden die Begriffe des induktiven Schließens, insbesondere der Begriff der induktiven Wahrscheinlichkeit, formal präzisiert und expliziert. Was induktive Wahrscheinlichkeit ist drückt sich in den Axiomen und Regeln dieses Kalküls aus. Dieser gesuchte Kalkül soll (mit Skyrms) "wissenschaftliche induktive Logik" genannt werden.
Ein Grundproblem der Induktiven Logik ist also die Konstruktion einer wissenschaftlichen Induktiven Logik.
Angenommen nun, wir haben nicht nur eine allgemeine Rechtfertigung des induktiven Schließens, sondern besitzen auch einen Formulierungsvorschlag für eine wissenschaftliche Induktive Logik. Dann müssen wir noch ein weiteres Grundproblem bewältigen: Die konstruierte wissenschaftliche Induktive Logik ist auszuzeichnen gegenüber anderen Induktiven Logiken (wie der Anti-Induktion, die aus dem Misslingen einer Vorgehensweise schließt, dass sie im nächsten Fall Erfolg haben wird). Der Ansatz (a) zur Rechtfertigung der Induktion (im vorherigen Abschnitt) kann die wissenschaftliche Induktion nicht vor der anti-wissenschaftlichen auszeichnen. Ansatz (a) bestimmt nur eine notwendige Bedingung für die Akzeptanz eines Systems der Induktiven Logik: Es muss mit den Tatsachen kohärent sein, d.h. sich relativ zu diesen selbstrechtfertigen können.
Definieren wir die Erfolgsträchtigkeit einer Argumentform wie folgt:

    Eine Argumentform liefert meistens wahre Konklusionen genau dann, wenn sie in dem    
    Zeitabschnitt, der von ihrer ersten Realisierung bis zu ihrer letzten reicht, meistens
    wahre Konklusionen liefert.

Zu beachten: Hier ist der Unterschied von Argumentformen und von Realisierungen/Vorkommnissen einer Form wichtig; dieser Unterschied verhält sich ebenso wie der zwischen den Vorkommnissen von "a", von denen es auf dieser Seite viele gibt, und dem Buchstaben "a", den es einmal gibt.
Das zweite Grundproblem der Induktiven Logik läßt sich jetzt wie folgt ausdrücken:


Ein System S der Induktiven Logik ist rational begründet genau dann, wenn gezeigt wurde:

(i) Jene Argumentformen, die gemäß S induktiv stark sind, liefern meistens wahre Konklusionen:

(ii) Wenn S einer Argumentform A eine größere induktive Wahrscheinlichkeit zuordnet als einer anderen Argumentform B, dann liefert A mehr wahre Konklusionen als B.


Gesucht wird hier mit (i) ein System der Induktiven Logik, das sich korrekt verhält (d.h. uns nicht mit seinen Regeln in die Irre führt), und mit (ii) ein System, dessen relative Zumessungen induktiver Wahrscheinlichkeiten ebenfalls korrekt sind.
Die Rechtfertigung wird sich dabei im allgemeinen auf eine Stimmigkeit zwischen den Ergebnissen des System des Induktiven Logik und unseren Intuitionen akzeptablen induktiven Schließens berufen. Es muss ein "reflektiertes Gleichgewicht" zwischen diesen beiden erreicht werden.

Ein Beispiel für die Problematik der Regelkonstruktion: Projizierbarkeit
Ein besonderes Problem, das sich bei angemessenen Anwendung von Regeln der induktiven Verallgemeinerung stellt, ist das der Auswahl nur solcher Regelmäßigkeiten, die sich auch verallgemeinern lassen (die "projizierbar" sind). Was heißt das? Bei diesem Problem handelt es sich um eine moderne Variante des Problems, die Hinsichten anzugeben, bezüglich derer die Natur gleichförmig ist, sodass eine eine einfache Verallgemeinerung nicht in die Irre führt (Nelson Goodmans "neues Rätsel der Induktion").
Die einfachste mögliche induktive Regel (gelegentlich "straight rule" genannt) würde Schlüsse wie diesen erlauben:

     1. Alle bisher beobachteten Smaragde waren grün.
     Also: Der Smaragd, der als nächster beobachtet wird, wird grün sein.

Diese einfache Regel hat eine Reihe Nachteile. Nicht alle induktiven Schlüsse werden erfasst, die Anzahl der beobachteten Fälle (ob 5 oder 50000) scheint irrelevant zu sein, die Variabilität der Beobachtungsumstände (alle Smaragde mit grüner Brille beobachtet?) wird nicht berücksichtigt - aber vor allem gibt die Regel keinen Hinweis, wie Prädikate (wie das grün sein einer Art von mineralischem Gegenstand), die solche Projektionen erlauben, von solchen unterschieden werden können, bei denen wir damit in Probleme geraten, z.B.:

    1. Alle meine Examen fanden in Jahren statt, in denen Bayern nicht Meister wurde.
    Also: Im Jahr meines nächstes Examens wird Bayern nicht Meister werden.

Welche geheime Gesetzlichkeit hier am Werke sein soll, ist schlicht unerfindlich. Dahinter steckt ein tieferes Problem: Die bisjetzt gesammelten Daten sind mit vielen Deutungen und insbesondere mit vielen Regelmäßigkeiten kompatibel. Goodman definiert nun ein neues Prädikat "grue":
   
x ist graun :=  x ist grün zu t und t ist vor dem Jahr 2000 oder x ist braun zu t und t ist im Jahr 2000 oder später.

Nun läßt sich mit der fraglichen Regel am 31.12.1999 um 23Uhr 59 schließen:

    1. Alle bisher beobachteten Smaragde waren graun.
    Also: Der Smaragd, der als nächster beobachtet wird, wird graun sein.

Mit den Beobachtungen stimmt die Prämisse überein: Schließlich wurden alle Smaragde vor 2000 beobachtet und waren grün, also auch graun. Die Vorhersage bedeutet indessen, dass ein Smaragd nach dem Zeitpunkt t graun sein wird, also wird der Smaragd braun sein! Bzw. wird ein Chamäleon, das am Sylvesterabend vom Gummibaum auf den braunen Teppich herabsteigt,  von dem in der Sprache mit den gewöhnlichen Farbprädikatoren gesagt wird, es ändere die Farbe, gemäß der "graun"-Sprache seine Farbe beibehalten! Beides kommt uns absurd und völlig unberechtigt vor. Aber wie lassen sich Verallgemeinerungen, wie der "graun"-Schluss vermeiden? Das Vorkommen von "oder" in der Definition von "graun" ist kein Ausschlussgrund, denn unsere gewöhnlichen Farbprädikate könnten ebenso disjunktiv eingeführt werden, legte man "graun" und "bräu" (braun vor t, grün nach t) zugrunde. Genauso ließen sich auch disjunkte Gegenstände definieren (etwa "Smatoffeln" als Smaragde vor t und Kartoffeln ab t).

Aufgabe: Definieren Sie "grün" mit Hilfe von "graun" und "bräu"! 

Frage 3: Angenommen wir definieren "graun" als Erweiterung unserer Sprache und akzeptieren entsprechend, dass alle bisher untersuchten Smaragde graun waren. Wir verallgemeinern nun induktiv gemäß der Forderung des Gesamtdatums (s.o.). Was ergibt sich, wenn wir "graun" wieder gemäß seines definiens auflösen?

Frage
4: Das Chamäleon: Bleibt seine Farbe wirklich identisch in der "graun"-Sprache oder ändert sich nur seine Beschreibung? Welche Unterscheidungen muss man zur Beantwortung dieser Frage machen?

Frage
5: Gegeben eine Antwort auf die vorherige Frage - wie verhält es sich mit der Verallgemeinerung "Alle Smatoffeln sind graun."? Ändert sich zu t überhaupt etwas?

(Hinweis: Die beiden letzten Fragen weisen auf die Radikalisierung von Goodmans Problem in Eli Hirschs schwierigen Buch The Devision Problem hin, wo es sowohl um disjunkte Eigenschaften als auch disjunkte Gegenstände und die Schwierigkeiten einer Zurückweisung einer entsprechenden Sprache geht. All das ist Gegenstand schwieriger Debatten in der Analytischen Ontologie.)

Intuitiv gibt es einen Unterschied zwischen solchen Eigenschaften, die sich gemäß der straight rule oder einfachen Induktion projizieren lassen und solchen, bei denen eine entsprechende Gleichförmigkeit nicht zu erwarten ist. Es muss einen solchen Unterschied geben, denn wie Frage 3 uns gezeigt hat: Verallgemeinern wir alle vermeintlichen Regelmäßigkeiten, die sich in unserer Sprache ausdrücken lassen und die mit den Daten kompatibel sind, wird unser Meinungssystem inkonsistent! Im Hintergrund liegt hier wieder die Annahme von Gleichförmigkeit und Uniformität zumindest bezüglich einiger Hinsichten (der Natur). Goodmans "neues Problem der Induktion" (das Problem der Projizierbarkeit) ist nichts anderes als das Uniformitätsproblem in neuem Gewand. Es läßt sich auch als Problem der Identifikation der natürlichen Arten bzw. Eigenschaften fassen. Natürliche Arten und Eigenschaften sind solche, die über die Zeit (d.h. nicht disjunktiv) das Verhalten eines Objekts dieser Art bzw. mit dieser Eigenschaft bestimmen. Nach David Lewis beziehen sich natürliche Art Prädikatoren auf solche natürlichen Eigenschaften und sind deshalb projizierbar. "Hinsichten der Uniformität", "Natürliche Eigenschaften", "Projizierbarkeit" sind Titel derselben Problemlage. Eine Antwort benötigen wir, um das erste Grundproblem der Induktiven Logik (die Konstruktion einer wissenschaftlichen Induktiven Logik, welche nicht einfach die straight rule ansetzt) zu lösen. Ein System der wissenschaftlichen Induktiven Logik muss entweder Goodman Problem auflösen oder Regeln zur Bestimmung der Projizierbarkeit von Regelmäßigkeiten besitzen.


Mills Methoden und Schlüsse auf die beste Erklärung

Mill war mit seinem Buch System of Logic (1843) einer der ersten, der zur Entwicklung der Induktiven Logik beigetragen hat. Bei Mills Methoden geht es insbesondere um die Identifizierung von Kausaleinflüssen und (Mit-)Ursachen von Zuständen oder Ereignissen. (Die ontologischen Differenzierungen zwischen Zuständen, Tatsachen, Ereignissen spielen im folgenden keine Rolle.) Die Methodik zielt auf das Aufstellen von singulären und universellen Kausalaussagen. Mill stellte 5 Methoden vor: Die Methode der Übereinstimmung, die Methode der Differenzierung, die vereinigte Methode, die Restmethode und die Methode der Begleitveränderungen, wobei die letzten beiden nur Variationen der ersten 3 sind. Allerdings gibt es jeweils 2 Varianten der Methoden der Übereinstimmung und der vereinigten Methode.

Hinreichende und notwendige Bedingungen

Mills Methoden lassen sich am besten anhand von Wahrheitstafeln erläutern. Anhand der Wahrheitstafel für die materiale Implikation, die zunächst nichts mit einem Kausalverhältnis zwischen A und B zu tun hat, sondern allein das Verhältnis der Wahrheitswerte von A und B betrifft, läßt sich allgemein einführen, was man unter einer "hinreichenden" und einer "notwendigen" Bedingung verstehen kann:

A

B

A É B

W

W

W

W

F

F

F

W

W

F

F

W

[Im folgenden benutze ich zur Vereinfachung der Darstellung neben den Standard-Symbolen oft "&" für "und", "v" für "oder", "¬" für "nicht" sowie  "=>" für das Konditional, "<=>" für das Bikondional.]
Angenommen, die materiale Implikation ist wahr. Dann liegt der zweite Fall (dass bei Wahrheit von A B falsch ist) nicht vor. Immer dann, wenn A wahr ist (das ist nur der erste Fall), dann ist auch B wahr. So ist A eine hinreichende Bedingung für B. Etwas ist eine hinreichende Bedingung für etwas anderes genau dann, wenn das Vorliegen der Bedingung das Vorliegen des Bedingten mit sich bringt. Angenommen wieder die materiale Implikation ist wahr. Dann ist A nur dann wahr (der erste Fall), wenn auch B wahr ist, wobei B wahr sein kann (der dritte Fall), ohne dass A wahr ist. So ist B eine notwendige Bedingung für A. Etwas ist eine notwendige Bedingung für etwas anderes genau dann, wenn das Bedingte nicht vorliegt, ohne dass die Bedingung vorliegt (bzw. ohne das Vorliegen der Bedingung das Bedingte nicht gegeben sein könnte). Inbesondere gilt: Wenn A eine hinreichende Bedingung für B ist, so ist B eine notwendige Bedingung für A.
[Dass die materiale Implikation wenig mit Kausalverhältnissen zu tun hat, sieht man u.a. daran, dass sie bei Falschheit des Antecedenz wahr ist; ein Fall, bei dem wir wohl kaum von "Verursachung" reden wollen.]
Ebenso wie komplexe Aussagen kann man auch komplexe Eigenschaften betrachten, deren Vorliegen (abgekürzt durch "V") oder deren Abwesenheit (abgekürzt durch "A") kausale Relevanz besitzen kann. Für komplexe Eigenschaften kann man auch Tafel definieren. Diese entsprechen als "Vorhandenseins-Tafeln" den Wahrheitstafeln:

A B ¬A A & B A v B
V V A V V
V A A A V
A V V A V
A A V A A

Die kombinierte Eigenschaft A&B liegt z.B. nur dann vor, wenn beide Teileigenschaften vorliegen. In dieser Ontologie gibt es außerdem negative Eigenschaften (wie ¬A) und disjunktive Eigenschaften (wie AvB). Zwei Eigenschaften schließen sich aus genau dann, wenn das Vorhandensein der einen die Abwesenheit der anderen bedeutet (d.h. wenn es keinen Fall in einer entsprechenden Tafel gibt, bei dem beide gegeben sind). Betrachten wir:

A B A & ¬A A v ¬A A & B ¬(¬A v ¬B)
V V V A AV V V AV V V V V AVA AV
V A V A AV V V AV V A A A AVVVA
A V A A VA A V VA A A V A VAV AV
A A A A VA A V VA A A A A VAA VA

                                                                                                             
Die Auswertung verläuft wie bei Wahrheitstafeln von innen nach außen; für die Bewertung entscheidend ist der Hauptjunktor (siehe Pfeil).
Eine Eigenschaft, die immer vorhanden ist, also immer mit "V" bewertet wird, (wie A v ¬A) ist eine "All-Eigenschaft". Eine Eigenschaft, die niemals vorhanden ist, also immer mit "A" bewertet wird, (wie A & ¬A) ist eine "Null-Eigenschaft". Alle anderen Eigenschaften sind "kontingent". Zwei Eigenschaft [wie A & B und ¬(¬A v ¬B)] , die immer beide vorhanden oder beide abwesend sind, also immer dieselbe Bewertung ihres Hauptjunktors erhalten, sind logisch äquivalent. (Es liegen hier die entsprechenden Begriffe zur Aussagenlogik vor.)

Aufgabe 1: Welche der folgenden komplexen Eigenschaften sind logisch äquivalent?
a) ¬AvB b) ¬¬AvB c) ¬A&¬B d) AvB  e) ¬(AvB) f) ¬(A&¬B) 

Aufgabe 2: Beurteilen Sie die folgenden Sätze auf Wahrheit oder Falschheit:
(1)     Jede kontingente Eigenschaft ist einfach.
(2)     Jede Nulleigenschaft ist zusammengesetzt.
(3)    Wenn A und B in denselben Objekten vorhanden sind, dann sind sie logisch           
         äquivalent.
(4)    Wenn A eine Alleigenschaft ist, dann ist A in jedem Objekt vorhanden.
                      
Für Kausalhypothesen muss es darum gehen, ob das Vorhandensein oder die Abwesenheit einer Eigenschaft eine hinreichende oder notwendige Bedingung des Vorhandenseins oder der Abwesenheit einer anderen Bedingung ist.  Suchen wir nach Ursachen (bzw. Mitteln), eine Wirkung zu erzielen, fragen wir nach hinreichenden Bedingungen, um sie zu realisieren. Suchen wir nach Ursachen (bzw. Mitteln) einer Wirkung vorzubeugen, fragen wir nach den notwendigen Bedingungen, um sie zu verhindern.
Neben den oben angeführten Definitionen sind folgende Beziehungen, die sich analog zur Aussagenlogik ergeben, wichtig:

    1. Wenn A eine hinreichende Bedingung für B ist, ist die Negation von B (die
     Abwesenheit von B) ein hinreichende Bedinung für die Negation von A.

Beispiel: Wenn zu brennen eine hinreichende Bedingung ist zu qualmen, dann ist die Abwesenheit des Qualmens hinreichend für die Abwesenheit des Brennens.

    2. Wenn A eine notwendige Bedingung für B ist, dann ist die Negation von B eine
     notwendige Bedingung für die Negation von A.

Beispiel: Wenn Protokollanfertigen eine notwendige Bedingung für das Erlangen eines Seminarscheins ist, dann ist das Nicht-Erlangen eines Seminarscheins eine notwendige Bedingung für das Nichtvorliegen des Protokollanfertigens (denn läge der Seminarschein vor, wäre ja ein Protokoll angefertigt worden).

    3. Wenn A eine hinreichende Bedingung für B ist, dann ist die Negation von A eine
     notwendige Bedingung für die Negation von B

Beispiel: Wenn zu brennen eine hinreichende Bedingung ist zu qualmen, dann ist die Abwesenheit des Brennens eine notwendige Bedingung für die Abwesenheit des Qualmens.

    4. Wenn A eine notwendige Bedingung für B ist, dann ist die Negation von A eine
     hinreichende Bedingung für die Negation von B.

Beispiel: Wenn Protokollanfertigen eine notwendige Bedingung für das Erlangen eines Seminarscheins ist, dann reicht das Nichtanfertigen des Protokolls aus, um keinen Seminarschein zu erlangen.

    5. Wenn die Negation von A eine notwendige Bedingung für die Abwesenheit von B ist,  dann ist A eine hinreichende Bedingung für B.

Diese 5 Konsequenzen der Definitionen (per Kontraposition gewonnen) verwenden wir oft, wenn wir informell nach hinreichenden und notwendigen Bedingungen fragen.

Die Methode der Übereinstimmung

[Im folgenden heißen die Kandidaten für "hinreichende" oder "notwendige" Bedingungen, die diesbezüglich geprüft werden, "mögliche hinreichende" bzw. "mögliche notwendige Bedingung", ohne dass "möglich" hier in einem (modal-)logisch terminologischen Sinne verwendet wird.]
Die Methoden verwenden Vorhandenseinstafeln, tragen in diese mögliche relevante Bedingungen für ein Bedingtes ein und lesen aus den vorgekommenen Situationen (Daten bezüglich des Vorhandenseins von Eigenschaften) gemäß den Definitionen ab, welche Bedingungsverhältnisse vorliegen.
Beispiel:
                        Kandidaten für relevante Eigenschaften                                 Bedingtes

  A B C D E
Objekt 1 V V V A V
Objekt 2 V A V V V
Objekt 3 A V V A V

Was können wir diesen Daten bezüglich der vermeintlichen Ursachen für das Vorhandensein von E entnehmen? Die Daten zu Objekt 1 schließen aus, dass D eine notwendige Bedingung für E ist (E ist auch ohne D gegeben). Mit der Untersuchung von Objekt 2 und Objekt 3 werden entsprechend B und A als notwendige Bedingungen ausgeschlossen. (Kein Kandidat wird als hinreichende Bedingung ausgeschlossen, da E immer vorliegt.) C ist immer gegeben wenn E gegeben ist, ist also - relativ zur Datenlage - eine notwendige (und hinreichende) Bedingung. Neue Daten könnten auch C ausschließen. Auch sind nicht alle Daten nötig: die Untersuchung von Objekt 1 war nicht nötig, da D auch von den Daten zu Objekt 3 ausgeschlossen wird.
Angewendet wird das Eliminationsprinzip der direkten Methode der Übereinstimmung:    

   Eine Eigenschaft, die in einem Objekt abwesend ist, in dem das Bedingte vorliegt, kann
   keine notwendige Bedingung sein.

Diese Eliminationsmöglichkeit ergibt sich deduktiv aus der Definition "notwendige Bedingung". (Was entsprechend auch für die anderen Bewertungskriterien gelten wird.)
Bei der Betrachtung einfacher Eigenschaften kann schon die Untersuchung eines Objektes ausreichen, um aus einer Gruppe von Kandidaten alle bis auf eine Eigenschaft auszuschließen. Betrachtet man auch komplexe Eigenschaft (z.B. Negationen von Elementareigenschaften), benötigt man mindestens 2 untersuchte Objekte (der Ausschluss einer Eigenschaft könnte ansonsten als Auszeichnung ihrer Negation missverstanden werden, es kann jedoch sein, dass sowohl A als auch ¬A beide keine notwendige Bedingung für E sind). Auch Disjunktionen können notwendige Bedingungen sein (etwa entweder eine Seminararbeit oder eine Klausur geschrieben zu haben, um einen Schein zu erlangen). Eigenschaften, die von anderen Eigenschaften impliziert werden oder andere Eigenschaften implizieren, erben von diesen oder vererben an diese den Status als notwendige oder hinreichende Bedingung gemäß u.a. den Prinzipien:

  1. Sind A und B notwendige Bedingungen, so ist A & B eine notwendige Bedingung.

  2. Sind A und B hinreichende Bedingungen, so ist A v B eine hinreichende Bedingung.

  3. Ist A eine hinreichende/notwendige Bedingung, so ist es ¬¬A.

  4. Ist A v B nicht hinreichend, sind es auch nicht A und B.

Die direkte Methode der Übereinstimmung setzt an Eigenschaften an, ihre Ergebnisse lassen sich aber auch als universale Konditionale formulieren, z.B.

                (i) Für alle x gilt, B(x) nur dann, wenn A(x).    

Und Verallgemeinerungen sind es ja, auf welche die Induktion zielt. Die Methode leitet uns aber weder bei der Auswahl der Kandidaten an, noch kann sie anders als das Nonfallibilitätsprinzip bezüglich der Objekt-Daten zu unterstellen. Auch kann sie die induktive Stärke der Verallgemeinerung relativ zur Menge der (positiven) Daten nicht messen.

Die umgekehrte Methode der Übereinstimmung dient der Auffindung hinreichender Bedingungen. Das Verfahren ist dasselbe wie bei der direkten Methode der Übereinstimmung, allerdings wird jetzt danach gesucht, welche Bedingung notwendig abwesend ist für die Abwesenheit des Bedingten (gemäß Prinzip 5 oben [analog zur aussagenlogischen Kontraposition] ist das Vorhandensein dieser Bedingung dann hinreichend für das Bedingte). Das Eliminationsprinzip der umgekehrten Methode der Übereinstimmung lautet: Eine Eigenschaft, die in einem Objekt vorhanden ist, in dem das Bedingte nicht vorhanden ist, kann keine hinreichende Bedingung sein. Ein Beispiel:

  A B C D E
Objekt 1 V A A A A
Objekt 2 A V A A A
Objekt 3 V A V A A

Aufgrund von Objekt 1 kann A keine hinreichende Bedingung für E sein (ansonsten müsste mit der Vorhandensein von A ja auch E gegeben sein). Entsprechend werden B und C durch die Objekte 2 und 3 eliminiert. Nur D bleibt (relativ zu diesen Daten) als Kandidat einer hinreichenden Bedingung für E.
Auch bei der Suche nach hinreichenden Bedingungen lassen sich wieder komplexe Eigenschaften betrachten. (20 Tage nicht zu trinken (¬A) ist hinreichend für eine ziemlich schlechten Gesundheitszustand.) Von besonderem Interesse sind konjunktive Eigenschaften, da oft das Zusammentreffen mehrerer Eigenschaften einen Effekt hervorruft.
Angestrebt werden universelle Konditionale des Typs:

                        (ii)     Für alle x gilt: Wenn A(x), dann B(x).

Allerdings gelten nach der Methode alle Null-Eigenschaften, da sie immer abwesend sind, als hinreichende Bedingung. Man sollte daher ausschließlich kontingente Eigenschaften betrachten.
Da sich über Prinzip 5 die Ergebnisse einer der Methoden in Ergebnisse der anderen Methode übersetzen lassen, benötigt man eigentlich nur eine der Methoden.

Die Methode der Differenzierung

Die Methode der Differenzierung versucht herauszufinden, welche von den Bedingungen, die in ein und demselben Objekt vorhanden sind, hinreichend ist für das in diesem Objekt vorliegende Bedingte. Notwendige Bedingungen zu identifizieren unterscheidet sich nicht, ob man nun ein oder mehrere Objekte untersucht: per definitionem müssen sie auch in dem einzelnen Objekt vorhanden sein. Von den vielen möglichen hinreichenden Bedingungen muss in einem Objekt, in dem das Bedingte vorliegt, jedoch nur eine anwesend sein. Wir betrachten dazu zunächst alle Eigenschaften, die in dem Objekt vorhanden sind: Sie alle sind Kandidaten für eine hinreichende Bedingung, da sie mit dem Bedingten gegeben sind. Aus diesen Kandidaten werden durch Untersuchung anderer Objekte mit der umgekehrten Methode der Übereinstimmung diejenigen ausgewählt, die hinreichende Bedingungen sind. Das heißt: die Methode des Unterschieds ist die umgekehrte Methode der Übereinstimmung, eingeschränkt auf die in einem bestimmten Objekt vorhandenen Kandidaten. Es ist weder garantiert, dass man nur eine hinreichende Bedingung findet (ein Toter kann im Herz und im Kopf getroffen sein), noch dass man überhaupt eine hinreichende Bedingung identifizieren kann: vielleicht werden alle Kandidaten im zweiten Schritt eliminiert.

Frage: Kann es sein, dass keine hinreichende Bedingung vorhanden ist?  

Ein Beispiel für die differenzierende Methode, das komplexe Eigenschaften einbezieht:

                         mögliche bedingende Eigenschaften                                             Bedingtes

  A B C D ¬A ¬B ¬C ¬D E
Objekt A A A V V V V A V
Zusatz-
Objekt1
A V V V V A A A A
Zusatz-
Objekt2
V V A B A A V A A

Ausgehend vom Objekt scheiden zunächst A, B, C, ¬D als Kandidaten für eine hinreichende Bedingung aus, da sie schlicht im Objekt abwesend sind. [Man bedenke, dass dies nicht ausschließt, dass sie im allgemeinen (etwa nach der Methode der Übereinstimmung) hinreichende Bedingungen sind, wären sie denn in einem Objekt gegeben!] Der zweite Schritt besteht im Betrachten von Zusatzobjekten gemäß der umgekehrten Methode der Übereinstimmung: ¬A scheidet aufgrund von Zusatzobjekt1 aus, da das Vorhandensein von ¬A nicht das Vorhandensein von E mit sich bringt; entsprechend ¬C bezüglich Zusatzobjekt2. Es bleibt damit allein ¬B. Der einfachste Fall, eine hinreichende Bedingung A aus den Kandiaten B, C,... heraus zu filtern, ist gegeben wenn ein Zusatzobjekt gefunden wird, so dass alle anderen Kandidaten außer A und ¬A sowohl im Objekt als auch im Zusatzobjekt vorhanden (bzw. abwesend) sind. [Mill betrachtete diesen Spezialfall.]

Die vereinigte Methode

Vereinigungen der Methoden sind erforderlich, wenn eine sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung A (für B) identifiziert werden soll. Bezüglich dieser würde gelten:

            (iii) Für alle x gilt: Genau dann B(x), wenn A(x).

Dazu muss die Methode, die dem Auffinden notwendiger Bedingungen dient, (die direkte Methode der Übereinstimmung) kombinieren mit einer Methode, die dem Auffinden hinreichender Bedingungen dient (die umgekehrte Methode der Übereinstimmung oder die Methode der Differenzierung). Gesucht wird also eine Eigenschaft, die relativ zum Bedingten genau dann vorhanden/abwesend ist, wenn das Bedingte vorhanden/abwesend ist (anlog zur materialen Äquivalenz ["º"] in der Aussagenlogik).
Die doppelte Methode der Übereinstimmung beginnt mit der direkten und endet mit der umgekehrten Methode der Übereinstimmung; ein Beispiel:

  A B C D ¬A ¬B ¬C ¬D E
Objekt1 V A V A A V A V V
Objekt2 A V V V V A A A V
Objekt3 A V A V V A V A A
Objekt4 V A A A A V V V A

Die Untersuchung der Objekte1 und 2 gemäß der direkten Methode der Übereinstimmung (Suche nach notwendigen Bedingungen) eliminiert B, D, ¬A, ¬C, A, ¬B, so dass zunächst C und ¬D als Kandidaten übrig bleiben. Der Test an den Objekten3 und 4 auf den Status als hinreichende Bedingung gemäß der umgekehrten Methode der Übereinstimmung eliminiert ¬D. Als notwendige und hinreichende Bedingung für E wird also C ermittelt.
Die Vereinigte Methode der Übereinstimmung und des Unterschieds verfährt ähnlich, allerdings mit der Beschränkung, dass eine notwendige und hinreichende Bedingung gesucht wird, die in einem bestimmten Untersuchungsobjekt vorhanden ist (s.o.).

 

Manuel Bremer, 1999. Grundlage: Brian Skyrms. Einführung in die Induktive Logik. Frankfurt a.M. (Lang), 1989.